線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{y}{x}=x}$

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{C}{x}}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle y^{\prime }+\frac{y}{x}=x}$　･･････(1)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(1)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}}\left({\displaystyle \int x{e}^{{\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}}dx}+C\right)}$

積分すると

${\displaystyle y=e^{-\log x}\left({\displaystyle \int x{e}^{\log x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle e^{\log F\left(x\right)}=F\left(x\right)}$となるので

${\displaystyle y=\frac{1}{x}\left({\displaystyle \int x^{2}dx}+C\right)}$

${\displaystyle y=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{3}{x}^3+C\right)}$

よって

${\displaystyle y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{C}{x}}$

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最終更新日： 2023年6月19日