線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$$ {\displaystyle y^{\prime }+y=x}$$

■答

${\displaystyle y=x-1+C{e}^{-x}}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle y^{\prime }+y=x}$　･･････(1)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(1)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =e^{-{\displaystyle \int dx}}\left({\displaystyle \int x{e}^{{\displaystyle \int dx}}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{-x}\left({\displaystyle \int x{e}^{x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{-x}\left(x{e}^x-{\displaystyle \int e^{x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{-x}\left(x{e}^x-e^x+C\right)}$

よって

${\displaystyle y=x-1+C{e}^{-x}}$

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最終更新日： 2023年6月19日