線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$$ {\displaystyle x{y}^{\prime }-y=3x^4+2x^3+x^2}$$

■答

${\displaystyle y=x^4+x^3+x^2+Cx}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

$$ {\displaystyle x{y}^{\prime }-y=3x^4+2x^3+x^2}$$　･･････(1)

両辺を${\displaystyle x}$ で割ると

${\displaystyle y^{\prime }-\frac{1}{x}y=3x^3+2x^2+x}$

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(1)の一般解は次のような式で求まる．

${\displaystyle e^{\log F\left(x\right)}=F\left(x\right)}$となるので

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =x\left\{{\displaystyle \int \left(3x^3+2x^2+x\right)\frac{1}{x}dx}+C\right\}}$

${\displaystyle =x\left\{{\displaystyle \int \left(3x^2+2x+1\right)dx}+C\right\}}$

${\displaystyle =x\left(x^3+x^2+x+C\right)}$

よって

${\displaystyle y=x^4+x^3+x^2+Cx}$

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最終更新日： 2023年6月19日