線形微分方程式に関する問題

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x}{1-x^2}dx}}$　･･････(＊)

■答

${\displaystyle \log \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

■ヒント

${\displaystyle 1-x^2=t}$  とおき，置換積分をする

■解き方

${\displaystyle 1-x^2=t}$  とおき，置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2x}$  →${\displaystyle xdx=-\frac{1}{2}dt}$

以上を(＊)に代入すると

${\displaystyle \int \left(-\frac{1}{2t}\right)dt}$  

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\log \left|t\right|+C}$　　　(${\displaystyle C}$ は積分定数)

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\log \left|1-x^2\right|+C}$

${\displaystyle =\log {\left|1-x^2\right|}^{-\frac{1}{2}}+C}$　(対数の性質より)

${\displaystyle =\log \frac{1}{\sqrt{\left|1-x^2\right|}}+C}$ 　　　

 

 

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最終更新日： 2023年6月20日