線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{\prime }-\left(e^{x^2}+2xy+y\right)=0}$

■答

${\displaystyle y=-e^{x^2}+C{e}^{x^2}{e}^x}$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

一般解

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

■解き方

${\displaystyle y\text{'}-\left(e^{x^2}+2xy+y\right)=0}$ 　・・・(１)

(1)式を整理する．

${\displaystyle y^{\prime }-\left(e^{x^2}+2xy+y\right)=0}$

${\displaystyle y^{\prime }-e^{x^2}-2xy-y=0}$

${\displaystyle y^{\prime }-2xy-y=e^{x^2}}$

${\displaystyle y^{\prime }-\left(2x+1\right)y=e^{x^2}}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

積分すると

${\displaystyle y}$${\displaystyle =e^{\left(x^2+x\right)}\left({\displaystyle \int e^{x^2}{e}^{-\left(x^2+x\right)}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{x^2}{e}^x\left({\displaystyle \int e^{x^2}{e}^{-x^2}{e}^{-x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{x^2}{e}^x\left({\displaystyle \int e^{-x}dx}+C\right)}$

${\displaystyle =e^{x^2}{e}^x\left(-e^{-x}+C\right)}$

${\displaystyle =-e^{x^2}+C{e}^{x^2}{e}^x}$

${\displaystyle =-e^{x^2}+C{e}^{x^2+x}}$

　

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最終更新日： 2023年6月20日