微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(D^2-8D+15\right)y=e^{4x}}$

■答

${\displaystyle y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{5x}-e^{4x}}$

(ただし，${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ は任意定数)

■ヒント

逆演算子を部分分数に分解して解く．この公式を参照．

■解き方

●特殊解

${\displaystyle \frac{1}{D^2-8D+15}{e}^{4x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\left(D-5\right)\left(D-3\right)}{e}^{4x}}$

部分分数に分解する

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{D-5}-\frac{1}{D-3}\right)e^{4x}}$

この公式を利用するする

${\displaystyle =\frac{1}{2}(e^{5x}{\displaystyle \int e^{-5x}\cdot e^{4x}dx}}$${\displaystyle -e^{3x}{\displaystyle \int e^{-3x}\cdot e^{4x}dx})}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{e^{5x}\left(-e^{-x}\right)-e^{3x}\left(e^x\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-2e^{4x}\right)}$

${\displaystyle =-e^{4x}}$

●同次方程式${\displaystyle (D^2-8D+15)y=0}$ の一般解

特性方程式は

${\displaystyle t^2-8t+18=0}$

より

${\displaystyle \left(t-3\right)\left(t-5\right)=0}$

${\displaystyle t=3,5}$

よって，同次方程式の一般解は

${\displaystyle c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{5x}}$ 　　(定数係数線形同時微分方程式を参照)

${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$は任意定数

●一般解

以上より，一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{5x}-e^{4x}}$

となる.

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>微分演算子，逆演算子に関する問題>>問題

最終更新日： 2023年6月28日