式の導出

式の導出

以下のような逆演算子は,部分分数に分解することが出来る.

1 1aD 1bD = 1 ab a 1aD b 1bD  ・・・・・・(1)

■導出

1 1at 1bt

を因数分解すると

1 1at 1bt = 1 ab a 1at b 1bt  ・・・・・・(2)

となる.(2)の右辺を通分して整理すると

1 1at 1bt = 1 ab a 1bt b 1at 1at 1bt  ・・・・・・(3)

となる.(4)の左辺と右辺の分母は同じであることより

1 ab a 1bt b 1at =1  ・・・・・・(4)

が成り立つ.微分演算子は,多項式の同様に,定数倍が成り立つので

1 ab a 1bD b 1aD =1  ・・・・・・(5)

が成り立つ. F x に(5)の両辺の微分演算子をほどこすと

1 ab a 1bD b 1aD F x =1F x  ・・・・・・(6)

更に,(6)の両辺に 1 1aD 1bD をほどこすと

1 1aD 1bD 1 ab a 1bD b 1aD F x = 1 1aD 1bD F x  ・・・・・・(7)

1 1aD 1bD 1 ab a 1bD F x b 1aD F x = 1 1aD 1bD F x

(∵微分演算子の差より)

1 ab a 1aD 1bD 1bD F x b 1bD 1aD 1aD F x = 1 1aD 1bD F x

(∵この公式)

1 ab a 1aD F x b 1bD F x = 1 1aD 1bD F x

(∵この公式,および, 1 f D f D =1 )

1 ab a 1aD b 1bD F x = 1 1aD 1bD F x   ・・・・・・(7)

となる.(7)より

1 1aD 1bD = 1 ab a 1aD b 1bD

 

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 最終更新日: 2023年6月27日