微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=4^x}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=4^{x}log4}$ 

■ヒント

指数関数の底を${\displaystyle e}$ に変換してから指数関数の微分の公式より，微分する．

${\displaystyle {\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{\log a^x}\right)}^{\prime }=e^{x\log a}}$

の式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=4^x}$

${\displaystyle y^{\prime }={\left(e^{\log 4^x}\right)}^{\prime }}$

(${\displaystyle 4^x=e^{\log 4^x}}$ と変形する．)

${\displaystyle ={\left(e^{xlog4}\right)}^{\prime }}$${\displaystyle =e^{x\log 4}{\left(x\log 4\right)}^{\prime }}$${\displaystyle =e^{xlog4}log4}$${\displaystyle =4^{x}log4}$

（${\displaystyle \because }$ ${\displaystyle e^{x\log 4}=e^{\log 4^x}=4^x}$ ）

●別解

対数微分法を用いる．

${\displaystyle y=4^x}$

の両辺の自然対数をとる．

${\displaystyle \log y=\log 4^x}$

${\displaystyle \log y=x\log 4}$　（∵対数の性質： ${\displaystyle {\log }_a{R}^t=t{\log }_{a}R}$ ）

両辺を${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{d}{dx}\left(x\log 4\right)}$

${\displaystyle \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\log 4}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\log 4}$${\displaystyle =4^x\log 4}$

【備考】

${\displaystyle z=\log y}$

とおく．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\log y\right)=\frac{dz}{dx}}$${\displaystyle =\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =\frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle z}$ を

${\displaystyle z=\log y}$，${\displaystyle y=4^x}$  

の合成関数と考えている．

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最終更新日： 2024年7月12日