フーリエ級数の問題

フーリエ級数の問題

■問題

周期関数

f( x )=| x |   ( πxπ ) f x+2π =f x

フーリエ級数を求めよ.

■答

f ( x ) 1 2 π 4 π cos x + 1 3 2 cos 3 x + 1 5 2 cos 5 x + 1 7 2 cos 7 x +

■ヒント

フーリエ係数

a 0 = 1 2π π π f( x )dx

a n = 1 π π π f( x )cosnx dx      ( n=1,2,3··· )

b n = 1 π π π f( x )sinnxdx      ( n=1,2,3··· )

を求める.

■解説

f( x )=| x |   ( πxπ )  

を書き換えると

f( x )={ x x ( πx0 ) ( 0xπ )

となる.

a 0 = 1 2π π π f( x )dx

= 1 2π { π 0 ( x )dx+ 0 π xdx }

= 1 2π { [ 1 2 x 2 ] π 0 + [ 1 2 x 2 ] 0 π }

= 1 2π ( 1 2 π 2 + 1 2 π 2 )

= 1 2π · π 2

= 1 2 π

 

a n = 1 π π π f( x )cosnxdx

f(x) 偶関数なので、 f(x)=cosx も偶関数である(偶関数の積分を参照).よって

= 2 π 0 π xcosnxdx

= 2 π 0 π x ( 1 n sinnx ) dx

= 2 π { [ 1 n xsinnx ] 0 π 0 π 1· 1 n sinnxdx }

= 2 π { 0 1 n [ 1 n cosnx ] 0 π }

= 2 π · 1 n 2 ( cosnπ1 )

= 2 π n 2 { ( 1 ) n 1 }

={ 0 4 π n 2 ( nが偶数のとき ) ( nが奇数のとき )

 

b n = 1 π π π f( x )sinnxdx

f( x ) が偶関数なので、 f( x )sinnxdx 奇関数である(奇関数の積分を参照) .よって

=0

以上より

f( x ) a 0 + n=1 ( a n cosnx+ b n sinnx )

1 2 π+ n=1 2 π n 2 { ( 1 ) n 1 }cosnx

1 2 π 4 π cos x + 1 3 2 cos 3 x + 1 5 2 cos 5 x + 1 7 2 cos 7 x +

 

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最終更新日: 2023年7月7日