フーリエ級数の問題

■問題

周期関数

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|}$   ${\displaystyle \left(-\pi \leqq x\leqq \pi \right)}$，${\displaystyle f\left(x+2\pi \right)=f\left(x\right)}$

のフーリエ級数を求めよ．

■答

■ヒント

フーリエ係数

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)cosnxdx}$ 　　　　(${\displaystyle n=1,2,3···}$ )

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)sinnxdx}$ 　　　　(${\displaystyle n=1,2,3···}$ )

を求める．

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|}$   ${\displaystyle \left(-\pi \leqq x\leqq \pi \right)}$  

を書き換えると

${\displaystyle f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-x\\ x\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\left(-\pi \leqq x\leqq 0\right)\\ \left(0\leqq x\leqq \pi \right)\end{array}}$

となる．

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }\left\{{\displaystyle {\int }_{-\pi }^0\left(-x\right)dx+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }xdx}}\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }\left\{{\left[-\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-\pi }^0+{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^{\pi }\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }\left(\frac{1}{2}{\pi }^2+\frac{1}{2}{\pi }^2\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\pi }·{\pi }^2}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\pi }$

　

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}}$

${\displaystyle f(x)}$ が偶関数なので、 ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ も偶関数である(偶関数の積分を参照)．よって

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }x\cos nxdx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }x{\left(\frac{1}{n}\sin nx\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }\left\{0-\frac{1}{n}{\left[-\frac{1}{n}\cos nx\right]}_0^{\pi }\right\}}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi }·\frac{1}{n^2}\left(\cos n\pi -1\right)}$

${\displaystyle =\frac{2}{\pi n^2}\left\{{\left(-1\right)}^n-1\right\}}$

${\displaystyle =\{\begin{array}{c}0\\ -\frac{4}{\pi n^2}\end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\\ \end{array}\begin{array}{c}\left(n\text{が偶数のとき}\right)\\ \left(n\text{が奇数のとき}\right)\end{array}}$

　

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx}}$

${\displaystyle f\left(x\right)}$ が偶関数なので、 ${\displaystyle f\left(x\right)\sin nxdx}$ は奇関数である(奇関数の積分を参照) ．よって

$=0$

以上より

　

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>> フーリエ級数・解析に関する問題>>フーリエ級数の問題

最終更新日： 2023年7月7日