基本的な1次変換の問題

■問題

座標平面において，直線 ${\displaystyle y=-x}$ に関して対称な変換を表す表現行列を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)}$

■ヒント

${\displaystyle y=-x}$のグラフを描き，それに関して互いに対称な2点をとる．

線分${\displaystyle \text{PQ}}$の中点が直線${\displaystyle y=-x}$上にあることと，線分${\displaystyle \text{PQ}}$と 直線${\displaystyle y=-x}$ が直交することから，連立方程式を立てる．

${\displaystyle u}$と${\displaystyle v}$を${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$で表すことにより表現行列を求める．

■解き方

点${\displaystyle \text{P}}$，点${\displaystyle \text{Q}}$の中点

${\displaystyle \left(\frac{x+u}{2},\frac{y+v}{2}\right)}$

が直線${\displaystyle y=-x}$上にあることより

${\displaystyle \frac{y+v}{2}=-\frac{x+u}{2}}$……(1)

点${\displaystyle \text{P}}$，点${\displaystyle \text{Q}}$を通る直線の傾きは

${\displaystyle \frac{y-v}{x-u}}$

となる．線分${\displaystyle \text{PQ}}$と 直線${\displaystyle y=-x}$ が直交することとより

${\displaystyle \frac{y-v}{x-u}·\left(-1\right)=-1}$……(2)

${\displaystyle \left(1\right)}$より

${\displaystyle y+v=-x-u}$……(3)

${\displaystyle \left(2\right)}$より

${\displaystyle y-v=x-u}$……(4)

${\displaystyle \left(3\right)+\left(4\right)}$より

${\displaystyle 2y=-2u}$

よって

${\displaystyle u=-y}$

${\displaystyle \left(3\right)-\left(4\right)}$より

${\displaystyle 2v=-2x}$

よって

${\displaystyle v=-x}$

 したがって

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-y\\ -x\end{array}\right)}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot x& -1\cdot y\\ -1\cdot x& 0\cdot y\end{array}\right)}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

よって，表現行列は

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年2月10日