基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 1\\ 1& 2& 1& 2\\ 4& 1& 5& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle 14}$

■計算

行列式の計算手順1を参考に行列式の次数を下げていく。

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}2& 3& 3& 1\\ 1& 2& 1& 2\\ 4& 1& 5& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right|}$

1行1列目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が代わることに注意する．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 2& 3& 3& 1\\ 4& 1& 5& 1\\ 2& 1& 1& 2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2)，3行+1行×(-4)，1行+4行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& -1& 1& -3\\ 0& -7& 1& -7\\ 0& -3& -1& -2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて計算式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& -3\\ -7& 1& -7\\ -3& -1& -2\end{array}\right|}$

再び1行1列目を1とするために1列目と2列目を入れ替える．符号が代わる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 1& -7& -7\\ -1& -3& -2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行＋1行の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -3\\ 0& -6& -4\\ 0& -4& -5\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて計算式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-6& -4\\ -4& -5\end{array}\right|}$

${\displaystyle =30-16}$

${\displaystyle =14}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日