基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，因数分解された形で答えを示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x-1& 1& 1& 1\\ 1& x-1& 1& 1\\ 1& 1& x-1& 1\\ 1& 1& 1& x-1\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle {\left(x-2\right)}^3\left(x+2\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x-1& 1& 1& 1\\ 1& x-1& 1& 1\\ 1& 1& x-1& 1\\ 1& 1& 1& x-1\end{array}\right|}$

1行目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意する．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& x-1& 1& 1\\ x-1& 1& 1& 1\\ 1& 1& x-1& 1\\ 1& 1& 1& x-1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×${\displaystyle \left\{-\left(x-1\right)\right\}}$ ，3行+1行×(-1)，4行+1行×(-1)の計算をする．

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

1行目の成分，2行目の成分，3行目の成分がいずれも${\displaystyle -x+2}$ の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて各行から${\displaystyle -x+2}$ をくくりだす．

${\displaystyle ={\left(-x+2\right)}^3\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right|}$

1行目を1とするために，行列式の交代性を用いて1行目と2行目を入れ替える．このとき符号が変わることに注意する．

${\displaystyle =-{\left(-x+2\right)}^3\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ x& 1& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×${\displaystyle \left(-x\right)}$ ，3行+1行の計算をする．

${\displaystyle =-{\left(-x+2\right)}^3\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ x& x+1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-{\left(-x+2\right)}^3\left|\begin{array}{cc}x+1& 1\\ -1& 1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-{\left(-x+2\right)}^3\left(x+1+1\right)}$

${\displaystyle ={\left(x-2\right)}^3\left(x+2\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日