基本的な行列の問題

■問題

次の連立1次方程式をクラメルの公式を用いて解け．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x+2y-3z=3\\ -2x-4y+z=4\\ 2x+y+z=4\end{array}\right.}$

■答

${\displaystyle x=5}$，${\displaystyle y=-4}$，${\displaystyle z=-2}$

■計算

${\displaystyle \left|A\right|}$ ${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ -2& -4& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行＋1行×2，3行+1行×(-2)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 0& 0& -5\\ 0& -3& 7\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げ，計算する．

${\displaystyle =-15}$

次に${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle y}$ ，${\displaystyle z}$ を求める．

${\displaystyle x}$${\displaystyle =-\frac{1}{15}\left|\begin{array}{ccc}3& 2& -3\\ 4& -4& 1\\ 4& 1& 1\end{array}\right|}$

1列で余因子展開する．

${\displaystyle =-\frac{1}{15}\left(-15-20-40\right)}$

${\displaystyle =5}$

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{15}\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -3\\ -2& 4& 1\\ 2& 4& 1\end{array}\right|}$

1列で余因子展開する．

${\displaystyle =-\frac{1}{15}\left\{4-4+2\left(3+12\right)+2\left(3+12\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{15}\left(0+30+30\right)}$

${\displaystyle =-4}$

${\displaystyle z}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{15}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -2& -4& 4\\ 2& 1& 4\end{array}\right|}$

2行目の成分が2の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて2行目から2をくくりだす．

${\displaystyle =-\frac{2}{15}\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& -2& 2\\ 2& 1& 4\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-\frac{2}{15}\left\{-8-2+8-3+2\left(4+6\right)\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{2}{15}\left(-10+5+20\right)}$

${\displaystyle =-2}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日