基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& 1& 1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ 1& 1& 1& x+1\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle x^2\left(x^2+x+3\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& 1& 1& x\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ 1& 1& 1& x+1\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，行列式の交代制を用いて1行目と4行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 1& x+1& 1& x\\ 1& 1& x+1& x\\ x+1& 1& 1& x\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1) ，3行+ 1行×(-1)，4行+1行× ${\displaystyle \left\{-\left(x+1\right)\right\}}$ の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x+1\\ 0& x& 0& -1\\ 0& 0& x& -1\\ 0& -x& -x& -x^2-x-1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}x& 0& -1\\ 0& x& -1\\ -x& -x& -x^2-x-1\end{array}\right|}$

1列目,2列目の成分が${\displaystyle x}$の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて${\displaystyle x}$をくくりだす．

${\displaystyle =-x^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ -1& -1& -x^2-x-1\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて3行+1行の計算をする．

${\displaystyle =-x^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& -1\\ 0& -1& -x^2-x-2\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-x^2\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& -x^2-x-2\end{array}\right|}$

定数倍の性質を用いて2行目の成分から${\displaystyle -1}$ をくくりだす．

${\displaystyle =x^2\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& x^2+x+2\end{array}\right|}$

${\displaystyle =x^2\left(x^2+x+3\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日