基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& x-4& x+4& x+1\\ x+2& x-3& x+2& x+3\\ x-1& x-2& x-3& x-2\\ x+4& x-1& x-1& x-4\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle -4\left(32x-85\right)}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x+1& x-4& x+4& x+1\\ x+2& x-3& x+2& x+3\\ x-1& x-2& x-3& x-2\\ x+4& x-1& x-1& x-4\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& -2\\ x+2& x-3& x+2& x+3\\ x-1& x-2& x-3& x-2\\ x+4& x-1& x-1& x-4\end{array}\right|}$

1行1列目の成分を1にするために，定数倍の性質を用いて1行目から−1をくくりだす．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 2\\ x+2& x-3& x+2& x+3\\ x-1& x-2& x-3& x-2\\ x+4& x-1& x-1& x-4\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行× ${\displaystyle \left\{-\left(x+2\right)\right\}}$ ，3行+1行×${\displaystyle \left\{-\left(x-1\right)\right\}}$ ，4行+1行×${\displaystyle \left\{-\left(x+4\right)\right\}}$ の計算をする．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 2\\ 0& -5& 3x+6& -x-1\\ 0& -1& 3x-5& -x\\ 0& -5& 3x+7& -x-12\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}-5& 3x+6& -x-1\\ -1& 3x-5& -x\\ -5& 3x+7& -x-12\end{array}\right|}$

1列目,3列目から定数倍の性質を用いて−1をくくりだす．−1が２回くくりだされるので符号は変わらない．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}5& 3x+6& x+1\\ 1& 3x-5& x\\ 5& 3x+7& x+12\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために，行列式の交代性を用いて2行目と1行目を入れ替える．このときに符号が変わることに注意．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 3x-5& x\\ 5& 3x+6& x+1\\ 5& 3x+7& x+12\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5)，3行+1行×(-5)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}1& 3x-5& x\\ 0& -12x+31& -4x+1\\ 0& -12x+32& -4x+12\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-12x+31& -4x+1\\ -12x+32& -4x+12\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cc}-1& -11\\ -12x+32& -4x+12\end{array}\right|}$

2行目の成分が−4の倍数になっているので，定数倍の性質を用いて−4をくくりだす．

${\displaystyle =-4\left|\begin{array}{cc}-1& -11\\ 3x-8& x-3\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-4\left\{-\left(x-3\right)+11\left(3x-8\right)\right\}}$

${\displaystyle =-4\left(32x-85\right)}$

　

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日