基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ.ただし,答えは因数分解された形で示せ.

x + 1 x 4 x + 4 x + 1 x + 2 x 3 x + 2 x + 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x + 4 x 1 x 1 x 4

■答

4( 32x85 )

■計算

x + 1 x 4 x + 4 x + 1 x + 2 x 3 x + 2 x + 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x + 4 x 1 x 1 x 4

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする.

=| 1 1 2 2 x+2 x3 x+2 x+3 x1 x2 x3 x2 x+4 x1 x1 x4 |

1行1列目の成分を1にするために,定数倍の性質を用いて1行目から−1をくくりだす.

=| 1 1 2 2 x+2 x3 x+2 x+3 x1 x2 x3 x2 x+4 x1 x1 x4 |

行列式の計算則を用いて2行+1行× x+2 ,3行+1行× x1 ,4行+1行× x+4 の計算をする.

=| 1 1 2 2 0 5 3x+6 x1 0 1 3x5 x 0 5 3x+7 x12 |

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる.

=| 5 3x+6 x1 1 3x5 x 5 3x+7 x12 |

1列目,3列目から定数倍の性質を用いて−1をくくりだす.−1が2回くくりだされるので符号は変わらない.

=| 5 3x+6 x+1 1 3x5 x 5 3x+7 x+12 |

1行1列目を1にするために,行列式の交代性を用いて2行目と1行目を入れ替える.このときに符号が変わることに注意.

=| 1 3x5 x 5 3x+6 x+1 5 3x+7 x+12 |

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-5),3行+1行×(-5)の計算をする.

=| 1 3x5 x 0 12x+31 4x+1 0 12x+32 4x+12 |

次数下げの計算を用いて,行列式の次数を1つ下げる.

=| 12x+31 4x+1 12x+32 4x+12 |

行列式の計算則を用いて1行+2行×(-1)の計算をする.

=| 1 11 12x+32 4x+12 |

2行目の成分が−4の倍数になっているので,定数倍の性質を用いて−4をくくりだす.

=4| 1 11 3x8 x3 |

=4 x3 +11 3x8

=4( 32x85 )

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2022年8月27日