基本的な行列の問題

■問題

次の行列 $A$ の逆行列 $A^{- 1}$ を求めよ．

$A = (\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix})$

■答

$(\begin{matrix} - \frac{1}{4} & \frac{1}{28} & \frac{11}{28} \\ \frac{1}{4} & - \frac{5}{28} & \frac{1}{28} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \end{matrix})$

■計算

まず , $|A|$ を求める．

$|A|$ $= |\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & - 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}|$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2)，3行+1行×(-3)の計算をする．

$= |\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & - 7 & - 1 \\ 0 & - 7 & - 5 \end{matrix}|$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を $1$ つ下げる．

$= |\begin{matrix} - 7 & - 1 \\ - 7 & - 5 \end{matrix}|$

$= 28$ $\neq 0$

各成分の余因子を求める．

${\tilde{a}}_{11} = {(- 1)}^{1 + 1} |\begin{matrix} - 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{matrix}| = - 7$ ， ${\tilde{a}}_{12} = {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}| = 7$ ， ${\tilde{a}}_{13} = {(- 1)}^{1 + 3} |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}| = 7$

${\tilde{a}}_{21} = {(- 1)}^{2 + 1} |\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}| = 1$ ， ${\tilde{a}}_{22} = {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}| = - 5$ ， ${\tilde{a}}_{23} = {(- 1)}^{2 + 3} |\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix}| = 7$

${\tilde{a}}_{31} = {(- 1)}^{3 + 1} |\begin{matrix} 3 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}| = 11$ ， ${\tilde{a}}_{32} = {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}| = 1$ ， ${\tilde{a}}_{33} = {(- 1)}^{3 + 3} |\begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{matrix}| = - 7$

求めた数値を逆行列の式

$A^{- 1} = \frac{1}{| A |} (\begin{matrix} {\tilde{a}}_{11} & {\tilde{a}}_{21} & \dots & {\tilde{a}}_{n 1} \\ {\tilde{a}}_{12} & {\tilde{a}}_{22} & \dots & {\tilde{a}}_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {\tilde{a}}_{1 n} & {\tilde{a}}_{2 n} & \dots & {\tilde{a}}_{n n} \end{matrix})$

に代入する.この問題では $n = 3$ である．

$A^{- 1}$ $= \frac{1}{28} (\begin{matrix} - 7 & 1 & 11 \\ 7 & - 5 & 1 \\ 7 & 7 & - 7 \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} - \frac{7}{28} & \frac{1}{28} & \frac{11}{28} \\ \frac{7}{28} & - \frac{5}{28} & \frac{1}{28} \\ \frac{7}{28} & \frac{7}{28} & - \frac{7}{28} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} - \frac{1}{4} & \frac{1}{28} & \frac{11}{28} \\ \frac{1}{4} & - \frac{5}{28} & \frac{1}{28} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \end{matrix})$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月14日