基本的な行列の問題

■問題

次の行列 A 逆行列 A 1 を求めよ.

A= 1 2 3 4 2 3 4 6 3 4 6 9 4 6 9 10

■答

A 1 = 7 3 0 2 3 1 3 0 3 2 0 2 3 2 2 3 1 3 1 2 0 1 3 1 3

■計算

まずは A を求める.

A = 1 2 3 4 2 3 4 6 3 4 6 9 4 6 9 10

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2),3行+1行×(-3),4行+1行×(-4)の計算をする.

= 1 2 3 4 0 1 2 2 0 2 3 3 0 2 3 6

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる.

= 1 2 2 2 3 3 2 3 6

行列式のすべての成分がマイナスなので,定数倍の性質を用いて各行から−1をくくりだす.

= 1 2 2 2 3 3 2 3 6

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-2),3行+1行×(-2)の計算をする.

= 1 2 2 0 1 1 0 1 2

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる.

= 1 1 1 2

= 2 1

= 3 0

各余因子を計算する.

a˜ 11 = 1 1 + 1 3 4 6 4 6 9 6 9 10 = 1 2 3 4 6 9 6 9 10 = 1 2 3 0 2 3 0 3 8 = 2 3 3 8 = 7

a˜ 12 = 1 1 + 2 2 4 6 3 6 9 4 9 10 = 1 2 3 3 6 9 4 9 10 = 1 2 3 0 0 0 0 1 2 = 0 0 1 2 = 0

a˜ 13 = 1 1 + 3 2 3 6 3 4 9 4 6 10 =2| 2 3 6 3 4 9 2 3 5 | = 2 1 1 3 0 1 0 0 1 1 = 2 1 0 1 1 = 2

a˜ 14 = 1 1 + 4 2 3 4 3 4 6 4 6 9 = 1 1 2 3 4 6 4 6 9 = 1 1 2 0 1 0 0 2 1 = 1 0 2 1 = 1

a˜ 21 = 1 2 + 1 2 3 4 4 6 9 6 9 10 = 6 1 1 4 2 2 9 3 3 10 = 6 1 1 4 0 0 1 0 0 2 = 6 0 1 0 2 = 0

a˜ 22 = 1 2 + 2 1 3 4 3 6 9 4 9 10 = 1 3 4 0 3 3 0 3 6 = 3 3 3 6 = 9 1 1 1 2 = 9

a˜ 23 = 1 2 + 3 1 2 4 3 4 9 4 6 10 = 1 2 4 0 2 3 0 2 6 = 2 3 2 6 = 6 1 1 1 2 = 6

a˜ 24 = 1 2 + 4 1 2 3 3 4 6 4 6 9 = 1 2 3 0 2 3 0 2 3 = 2 3 2 3 = 6 1 1 1 1 = 0

a˜ 31 = 1 3 + 1 2 3 4 3 4 6 6 9 10 = 2 1 1 1 3 4 3 6 9 5 = 2 1 1 1 0 1 0 0 3 1 = 2 1 0 3 1 = 2

a˜ 32 = 1 3 + 2 1 3 4 2 4 6 4 9 10 = 2 1 3 4 1 2 3 4 9 10 = 2 1 3 4 0 1 1 0 3 6 = 2 1 1 3 6 = 6

a˜ 33 = 1 3 + 3 1 2 4 2 3 6 4 6 10 = 2 1 2 4 2 3 6 2 3 5 = 2 1 2 4 0 1 2 0 1 3 = 2 1 2 1 3 = 2

a˜ 34 = ( 1 ) 3 + 4 1 2 3 2 3 4 4 6 9 = 1 2 3 0 1 2 0 2 3 =| 1 2 2 3 | = 1 2 2 3 = 1

a˜ 41 = ( 1 ) 4 + 1 2 3 4 3 4 6 4 6 9 = 1 1 2 3 4 6 4 6 9 = 1 1 2 0 1 0 0 2 1 = 1 0 2 1 = 1

a˜ 42 = ( 1 ) 4 + 2 1 3 4 2 4 6 3 6 9 = 3 1 3 4 2 4 6 1 2 3 = 3 1 3 4 0 2 2 0 1 1 = 3 2 2 1 1 = 0

a˜ 43 = ( 1 ) 4 + 3 1 2 4 2 3 6 3 4 9 = 1 2 4 2 3 6 3 4 9 = 1 2 4 0 1 2 0 2 3 = 1 2 2 3 = 1

a˜ 44 = ( 1 ) 4 + 4 1 2 3 2 3 4 3 4 6 = 1 2 3 2 3 4 3 4 6 = 1 2 3 0 1 2 0 2 3 = 1 2 2 3 = 1

求めた数値をそれぞれ代入する.ただし,行列式の前に最初に求めた A を分母にした分数を持ってくる.

A 1 = 1 3 7 0 2 1 0 9 6 0 2 6 2 1 1 0 1 1 = 7 3 0 2 3 1 3 0 3 2 0 2 3 2 2 3 1 3 1 3 0 1 3 1 3

 

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作成:学生スタッフ

最終更新日: 2022年8月27日