基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，因数分解された形で答えを示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& x& x^2& x^3\\ x& x^2& x^3& 1\\ x^2& x^3& 1& x\\ x^3& 1& x& x^2\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^3{\left(x+1\right)}^3{\left(x^2+1\right)}^3}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1& x& x^2& x^3\\ x& x^2& x^3& 1\\ x^2& x^3& 1& x\\ x^3& 1& x& x^2\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×${\displaystyle \left(-x\right)}$ ，3行+1行×${\displaystyle \left(-x^2\right)}$，4行+1行×${\displaystyle {\displaystyle \left(-x^3\right)}}$の計算をする．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{cccc}1& x& x^2& x^3\\ 0& 0& 0& 1-x^4\\ 0& 0& 1-x^4& x-x^5\\ 0& 1-x^4& x-x^5& x^2-x^6\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1-x^4\\ 0& 1-x^4& x-x^5\\ 1-x^4& x-x^5& x^2-x^6\end{array}\right|}$

すべての成分に ${\displaystyle 1-x^4}$の因数があるので，それでくくる．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1-x^4\\ 0& 1-x^4& x\left(1-x^4\right)\\ 1-x^4& x\left(1-x^4\right)& x^2\left(1-x^4\right)\end{array}\right|}$

各行から ${\displaystyle 1-x^4}$ を 定数倍の性質を用いてくくりだす．

${\displaystyle ={\left(1-x^4\right)}^3\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& x\\ 1& x& x^2\end{array}\right|}$

1行1列目を1にするために行列式の交代制を用いて1行目と3行目を入れ替える．このときに符号が変わる．

${\displaystyle =-{\left(1-x^4\right)}^3\left|\begin{array}{ccc}1& x& x^2\\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =-{\left(1-x^4\right)}^3\left|\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-{\left(1-x^4\right)}^3}$

${\displaystyle 1-x^4}$ を因数分解すると 

${\displaystyle 1-x^4=\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)=\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)}$

となる.したがって

${\displaystyle =-{\left\{\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\right\}}^3}$

${\displaystyle =-{\left(1-x\right)}^3{\left(1+x\right)}^3{\left(1+x^2\right)}^3}$

${\displaystyle ={\left(x-1\right)}^3{\left(x+1\right)}^3{\left(x^2+1\right)}^3}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日