基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値を求めよ．ただし，答えは因数分解された形で示せ．

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

■答

${\displaystyle \left(x+2\right){\left(x-1\right)}^2}$

■計算

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて1列＋2列，1列＋3列を計算する．

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}x+2& 1& 1\\ x+2& x& 1\\ x+2& 1& x\end{array}\right|}$

1列の成分がすべて${\displaystyle {\displaystyle x+2}}$ となったので，定数倍の性質を用いて1列から${\displaystyle {\displaystyle x+2}}$をくくりだす．

${\displaystyle =\left(x+2\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

行列式の計算則を用いて2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算をする．

${\displaystyle =\left(x+2\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& x-1& 0\\ 0& 0& x-1\end{array}\right|}$

次数下げの計算を用いて，行列式の次数を1つ下げる．

${\displaystyle =\left(x+2\right)\left|\begin{array}{cc}x-1& 0\\ 0& x-1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(x+2\right){\left(x-1\right)}^2}$

■別解1

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

・1行に2行を加える．
・1行に3行を加える．　⇒行列式の計算則

${\displaystyle =\left|\begin{array}{ccc}x+2& x+2& x+2\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

・1行の共通因数${\displaystyle x+2}$ をくくり出す⇒定数倍の性質

${\displaystyle =\left(x+2\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

・2行に1行の-1倍を加える．
・3行に1行の-1倍を加える．　⇒行列式の計算則

${\displaystyle =\left(x+2\right)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& x-1& 0\\ 0& 0& x-1\end{array}\right|}$

・次数下げをする．　⇒次数下げの計算

${\displaystyle =\left(x+2\right)\left|\begin{array}{cc}x-1& 0\\ 0& x-1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =\left(x+2\right){\left(x-1\right)}^2}$

■別解2

${\displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

・1行と2行を入れ替える．
⇒行列式の行または列の入れ替えの性質

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& x& 1\\ x& 1& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|}$

・2行に1行の${\displaystyle -x}$ 倍を加える

・3行に1行の-1倍を加える．　⇒行列式の計算則

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{ccc}1& x& 1\\ 0& 1-x^2& 1-x\\ 0& 1-x& x-1\end{array}\right|}$

・次数下げをする．　⇒次数下げの計算

・各成分を因数分解する．

${\displaystyle =-\left|\begin{array}{cc}\left(1-x\right)\left(1+x\right)& 1-x\\ 1-x& -\left(1-x\right)\end{array}\right|}$

・1行の共通因数${\displaystyle 1-x}$ をくくり出す．

・2行の共通因数${\displaystyle 1-x}$ をくくり出す．

${\displaystyle =-{\left(1-x\right)}^2\left|\begin{array}{cc}1+x& 1\\ 1& -1\end{array}\right|}$

${\displaystyle =-{\left(1-x\right)}^2\left(-1-x-1\right)}$

${\displaystyle =\left(x+2\right){\left(x-1\right)}^2}$

 

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年7月10日