2次関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$ のグラフは，${\displaystyle y=x^2}$ のグラフをどのように拡大した後，平行移動したかを答えよ．

■答

${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$ のグラフは

${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心として，y 軸方向に2倍した（拡大した）後，x 軸方向に2，y 軸方向に3平行移動したもの

である．

あるいは

${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$ のグラフは，${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心として，x 軸方向に${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ 倍 した（拡大した）後，x 軸方向に2，y 軸方向に3平行移動したもの

である．

■ヒント

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心として，x 軸方向に c 倍 ，y 軸方向にd 倍 した後，x 軸方向にa ，y 軸方向にb 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）した

グラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y-b}{d}=f\left(\frac{x-a}{c}\right)}$ 　

となる．よって，${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$，すなわち，${\displaystyle y=x^2}$ に適用すると

${\displaystyle \frac{y-b}{d}={\left(\frac{x-a}{c}\right)}^2}$   ･･･････(1)

の形に， ${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$の式を変形するとよい．

■解説

方針に従って${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$の式を以下のように変形する．

まず，平方完成する．

${\displaystyle x^2}$  の係数2で${\displaystyle x^2}$ の項と${\displaystyle x}$  の項をくくる．

${\displaystyle y=2\left(x^2-4x\right)+11}$ 　　　

${\displaystyle y=2\left(x^2-4x+4\right)-2\times 4+11}$

${\displaystyle a=x}$ の係数，とおく

（ ）の部分が${\displaystyle {\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2}$ になるように、（ ） の中に${\displaystyle {\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2}$ を加え，（ ） の外で${\displaystyle 2\times {\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2}$ を引き、差し引き0にする。

${\displaystyle y=2{\left(x-2\right)}^2+3}$  

次に，(1)の形になるように，式を変形していく．

${\displaystyle y-3=2{\left(x-2\right)}^2}$  

${\displaystyle \frac{y-3}{2}={\left(\frac{x-2}{1}\right)}^2}$  ･･････(2)

となる．(2)は次のようにも変形できる．

${\displaystyle \frac{y-3}{1}={\left(\frac{x-2}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)}^2}$  ･･････(3)

(2)より，${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$ のグラフは

${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心として
y 軸方向に2倍 した（拡大した）後，x 軸方向に2，y 軸方向に3平行移動したもの

である．

(3)より，${\displaystyle y=2x^2-8x+11}$ のグラフは

${\displaystyle y=x^2}$ のグラフを原点を中心として
x 軸方向に${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ 倍 した（拡大した）後，x 軸方向に2，y 軸方向に3平行移動したもの

である．

　

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最終更新日： 2024年9月13日