2次方程式に関する問題

■問題

次の2次方程式の解を因数分解することにより求めよ．

${\displaystyle x^2+3x-\frac{7}{4}=0}$

■答

${\displaystyle x=-\frac{7}{2},\frac{1}{2}}$

■ヒント

平方完成を利用した因数分解

たすきがけ手法による因数分解の手順

■解説

${\displaystyle x^2+3x-\frac{7}{4}}$ ${\displaystyle =\left(x+\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)}$ ${\displaystyle =0}$　･･････(1)

因数分解の計算はここに掲載

(1)が成り立つのは

${\displaystyle x+\frac{7}{2}=0}$ ，または，${\displaystyle x-\frac{1}{2}=0}$

である．よって

${\displaystyle x=-\frac{7}{2},\frac{1}{2}}$

となる．

●異なる因数分解の仕方

定数項が分数であるのでたすき掛けによる因数分解が難しい．よって，与式の両辺に4を掛けてから因数分解をする．

${\displaystyle \left(x^2+3x-\frac{7}{4}\right)\times 4=0\times 4}$

$4x^2+12x-7=0$

たすきがけ手法による因数分解の手順を参考に因数分解をする．

${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{¯}{\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\times \begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\begin{array}{c}\to \\ \to \end{array}\begin{array}{c}14\\ -2\end{array}}\\ 4-712\end{array}}$

より

${\displaystyle \left(2x+7\right)\left(2x-1\right)=0}$

が得られる．よって

${\displaystyle x=-\frac{7}{2},\frac{1}{2}}$

となる．

●解の公式を用いた場合

解の公式

${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

を用いる．よって

${\displaystyle x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot \left(-\frac{7}{4}\right)}}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{-3\pm \sqrt{16}}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{-3\pm 4}{2}}$ ${\displaystyle =\frac{7}{2},\frac{1}{2}}$

となる．

 

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最終更新日： 2024年10月28日