2次関数の最大値・最小値問題

■問題

斜辺の長さが ${\displaystyle a}$ の直角三角形の最大面積を求めよ．そのときの三角形はどのような三角形か述べよ．

■答

直角二等辺三角形のとき最大面積 ${\displaystyle \frac{1}{4}{a}^2}$

■ヒント

直角三角形の斜辺以外の2辺の長さを ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ とおいて直角三角形の面積 ${\displaystyle S}$ と斜辺の長さ ${\displaystyle a}$ を ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ で表す．

■解説

ヒントより

${\displaystyle S=\frac{1}{2}xy}$   ･･････(1)

${\displaystyle a=\sqrt{x^2+y^2}}$   ･･････(2)

となる．(2)より

${\displaystyle a^2=x^2+y^2}$

${\displaystyle y=\sqrt{a^2-x^2}}$   ･･････(3)

(3)を(1)に代入する．

${\displaystyle S=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{x^2\left(a^2-x^2\right)}}$   ･･････(4)

${\displaystyle S}$ が最大となるのは， ${\displaystyle x^2\left(a^2-x^2\right)}$ が最大となるときである． 以下のように式変形をする．

${\displaystyle x^2\left(a^2-x^2\right)=-x^4+a^2{x}^2}$ ${\displaystyle =-{\left(x^2-\frac{1}{2}{a}^2\right)}^2+\frac{1}{4}{a}^4}$   ･･････(5)

備考：$x^2$ を変数とする2次関数と考え，平方完成して最大値を求めている．

よって， ${\displaystyle x^2\left(a^2-x^2\right)}$ が最大となるのは， ${\displaystyle x^2=\frac{1}{2}{a}^2}$ のとき，すなわち， ${\displaystyle x>0}$ ， ${\displaystyle a>0}$ より， ${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}a}$ のとき，最大値は ${\displaystyle \frac{1}{4}{a}^4}$ となる．

${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}a}$ のとき

${\displaystyle y=\sqrt{a^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}a\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}a}$

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}a\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}a=\frac{1}{4}{a}^2}$

以上をまとめると

直角二等辺三角形のとき最大面積 ${\displaystyle \frac{1}{4}{a}^2}$

となる．

●別解1

三角関数を学んでいると以下のようにして解くことができる．

直角でない2つの頂角の一方の角度を ${\displaystyle \theta }$ とする．斜辺以外の二辺の長さは， ${\displaystyle a\sin \theta }$ ， ${\displaystyle a\cos \theta }$ となる．

よって，三角形の面積 ${\displaystyle S}$ は

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\left(a\sin \theta \right)\left(a\cos \theta \right)}$

2倍角の公式を用いると

${\displaystyle =\frac{1}{2}{a}^2\sin \theta \cos \theta }$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{a}^2\sin 2\theta }$  ･･････(6)

ただし， ${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{2}}$

となる．

(6)が最大値となるのは，${\displaystyle 2\theta =\frac{\pi }{2}}$，すなわち

${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}}$の直角二等辺三角形のとき，${\displaystyle S=\frac{1}{4}{a}^2}$

となる．

●別解2

微分を習っていると増減表を使って解くことができる．

(4)より

${\displaystyle S^{\prime }=\frac{2x\left(a^2-x^2\right)+x^2\left(-2x\right)}{4\sqrt{x^2\left(a^2-x^2\right)}}}$ ${\displaystyle =\frac{x\left(a^2-2x^2\right)}{2\sqrt{x^2\left(a^2-x^2\right)}}}$${\displaystyle =\frac{x\left(a-\sqrt{2}x\right)\left(a+\sqrt{2}x\right)}{2\sqrt{x^2\left(a^2-x^2\right)}}}$

ただし，${\displaystyle 0<x<a}$

よって， ${\displaystyle S^{\prime }=0}$ となるのは， ${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}a}$

${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}a}$ のとき

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}a\sqrt{a^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}a\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}{a}^2}$

以上より，増減表は以下のようになる．

増減表より

${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}a}$ のとき，最大値は ${\displaystyle \frac{1}{4}{a}^2}$

となる．

　

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最終更新日 2026年10月6日