ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }=0}$

(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-2}$)

■答

${\displaystyle y=e^{-2t}}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$${\displaystyle +2\left(sY\left(s\right)-y\left(0\right)\right)}$${\displaystyle =0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-s+2+2(sY\left(s\right)-1)=0}$

${\displaystyle (s^2+2s)Y\left(s\right)-s=0}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{s}{s(s+2)}=\frac{1}{s+2}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=e^{-2t}}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2+2\lambda =0}$

より

${\displaystyle \lambda (\lambda +2)=0}$

${\displaystyle \lambda =0,-2}$

よって一般解は

${\displaystyle y=C_1+C_2{e}^{-2t}}$ 　(ただし${\displaystyle C_1,C_2}$は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=-2C_2{e}^{-2t}}$

初期条件より

${\displaystyle y\left(0\right)=C_1+C_2}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=-2C_2}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=0,C_2=1}$

よって

${\displaystyle y=e^{-2t}}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日