ラプラス変換に関する問題

■問題

次の式をラプラス変換を用いて，一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+3y=0}$　　(初期条件：${\displaystyle y\left(0\right)=1}$，${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=3}$ )

■答

${\displaystyle y=\sqrt{3}\sin \sqrt{3}t+\cos \sqrt{3}t}$

■ヒント

ラプラス変換の微分則を用いて解く．

■解き方

ラプラス変換すると

${\displaystyle y\stackrel{\mathcal{L}}{\to }Y\left(s\right)}$

${\displaystyle y^{\prime }\stackrel{\mathcal{L}}{\to }sY\left(s\right)-y\left(0\right)}$

${\displaystyle y^{″}\stackrel{\mathcal{L}}{\to }{s}^{2}Y\left(s\right)-s\cdot y\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)}$

となり，これらを式に代入

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-sy\left(0\right)-y^{\prime }\left(0\right)+3Y\left(s\right)=0}$

初期条件より

${\displaystyle s^{2}Y\left(s\right)-s-3+3Y\left(s\right)=0}$

${\displaystyle \left(s^2+3\right)Y_{\left(s\right)}-s-3=0}$

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{s+3}{s^2+3}}$

よって

${\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{s}{s^2+3}+\frac{3}{s^2+3}}$

逆ラプラス変換をする　⇒ラプラス変換表はこちら

${\displaystyle y=\sqrt{3}\sin \sqrt{3}t+\cos \sqrt{3}t}$

■別解

定数係数線形同次微分方程式の解法を用いて解く．

特性方程式

${\displaystyle {\lambda }^2+3=0}$

より

${\displaystyle \lambda =\pm \sqrt{3}}$

よって一般解は

${\displaystyle y=C_1\sin \sqrt{3}t+C_2\cos \sqrt{3}t}$　　(ただし${\displaystyle C_1,C_2}$ は任意定数)

${\displaystyle y^{\prime }=\sqrt{3}{C}_1\cos \sqrt{3}t-\sqrt{3}{C}_2\sin \sqrt{3}t}$

初期条件より

${\displaystyle y\left(0\right)=C_2}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }\left(0\right)=\sqrt{3}{C}_1}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle C_1=\sqrt{3},C_2=1}$

よって

${\displaystyle y=\sqrt{3}\sin \sqrt{3}t+\cos \sqrt{3}t}$

　

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最終更新日： 2023年6月6日