三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq 2\pi }$ とする．

${\displaystyle -1\leqq 2\cos \theta \leqq \sqrt{2}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{2}{3}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{4}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{4}\pi }$

■解説

まず， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ の範囲で

${\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

を満たす ${\displaystyle \theta }$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle \theta =\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi }$

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

${\displaystyle \cos \theta }$ は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq 2\pi }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

${\displaystyle \frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{2}{3}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{4}{3}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{4}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年9月10日