不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-4}dx}$ 　 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

部分分数に分解することにより積分できる形に式を変形する．

${\displaystyle \frac{1}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　　（C は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$ を部分分数に分解する．

2次式の因数分解の公式の${\displaystyle 5}$ 番目の公式より，${\displaystyle x^2-2^2=\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$ と因数分解できるので，ヒントの(1)式より

${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)}$

よって

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)dx}$ 　

不定積分の基本式用いると

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\int \frac{1}{x-2}dx-\int \frac{1}{x+2}dx\right)}$

ヒントの(2)式より

${\displaystyle {\displaystyle =\frac{1}{4}\left(log\left|x-2\right|-log\left|x+2\right|\right)+C}}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{4}log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}$ 　　

（ ${\displaystyle {\log }_a\frac{R}{S}={\log }_{a}R-{\log }_{a}S}$ を参照）

【参考】部分分数分解の他の方法

${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2}}$

とおき，両辺に ${\displaystyle \left(x-2\right)\left(x+2\right)}$ をかけてやると

${\displaystyle 1=\left(x+2\right)a+\left(x-2\right)b}$ 　　

このとき，${\displaystyle x=2}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(2+2\right)a}$ 　　　

${\displaystyle a=\frac{1}{4}}$ 　　　

また，${\displaystyle x=-2}$ の場合

${\displaystyle 1=\left(-2-2\right)b}$ 　

${\displaystyle b=-\frac{1}{4}}$ 　

したがって

${\displaystyle \frac{1}{x^2-2^2}=\frac{\frac{1}{4}}{x-2}-\frac{\frac{1}{4}}{x+2}}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)}$ 　　

となる．

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{4}log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日