不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {cos}^{2}2xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+C}$　　（C は積分定数）

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る．ここを参照．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \cos }$ の加法定理 より

${\displaystyle cos\left(2x+2x\right)}$${\displaystyle =cos2xcos2x-sin2xsin2x}$　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

${\displaystyle cos\left(2x-2x\right)}$${\displaystyle =cos2xcos2x+sin2xsin2x}$　･･････(4)

(3)+(4)より

${\displaystyle cos\left(2x+2x\right)+cos\left(2x-2x\right)}$${\displaystyle =2cos2xcos2x}$ 　　

${\displaystyle 2{cos}^{2}2x=cos4x+cos0}$

${\displaystyle {cos}^{2}2x}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(cos4x+cos0\right)}$

ここで，${\displaystyle cos0=1}$ 　なので，${\displaystyle {cos}^{2}2x=\frac{1}{2}\left(1+cos4x\right)}$ となる．（三角関数の積和の公式の${\displaystyle 2}$ つめの式を参照），半角の公式： ${\displaystyle {cos}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+cos\alpha }{2}}$を用いてもよい．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(1+cos4x\right)dx}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\int dx+\int cos4xdx\right)}$ 　　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$の前に移せるのは， 不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4}sin4x\right)+C}$ 　　

（方針の公式${\displaystyle \left(1\right)}$ ，${\displaystyle \left(2\right)}$ にあてはめた）

${\displaystyle =\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+C}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}sin4x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle {cos}^{2}2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日