不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {sin}^{2}2xdx}$ 　　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin4x+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

三角関数の次数下げ、1次化を図る．ここを参照．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle \int cosxdx=sinx+C}$　･･････(2) 　

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \cos }$ の加法定理 より

${\displaystyle cos\left(2x+2x\right)}$${\displaystyle =cos2xcos2x-sin2xsin2x}$　･･････(3)

（三角関数の積和の公式の導出を参照）

${\displaystyle cos\left(2x-2x\right)}$${\displaystyle =cos2xcos2x+sin2xsin2x}$　･･････(4)

(3)−(4)より

${\displaystyle cos\left(2x+2x\right)-cos\left(2x-2x\right)}$${\displaystyle =-2sin2xsin2x}$ 　　

${\displaystyle -2{sin}^{2}2x=cos4x-cos0}$ 　　

${\displaystyle {sin}^{2}2x=-\frac{1}{2}\left(cos4x-cos0\right) }$ 　　

ここで，${\displaystyle cos0=1}$ なので，${\displaystyle {sin}^{2}2x=\frac{1}{2}\left(1-cos4x\right)}$ となる．（三角関数の積和の公式の 3 つ目の式を参照），半角の公式： ${\displaystyle {sin}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}}$を用いてもよい．

与式${\displaystyle =\int \frac{1}{2}\left(1-cos4x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\int dx-\int cos4xdx\right)}$

(${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}sin4x\right)+C}$ 　　

（方針の公式 ${\displaystyle (1)}$， ${\displaystyle (2)}$にあてはめる）

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin4x+\mathrm{C }}$ 　　

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin4x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {sin}^{2}2x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日