不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{\frac{1}{3}x}dx}}$  

■答

${\displaystyle =\frac{2}{9}x\sqrt{3x}+C}$ 　　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sqrt{\frac{1}{3}x}dx}}$  

(1)の公式を適用するために， ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}x}}$ を累乗の形に変換する．

${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}x}=\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{2}}}$

（${\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}$ は 指数が有理数の場合を参照） 

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)dx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \int x^{\frac{1}{2}}dx}}$

（${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}}}$ を積分記号${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式の1つ目の式を参照） 

${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{2}}{x}^{\frac{3}{2}}+C}$　　（$C$は積分定数）

（${\displaystyle \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}}$ を ${\displaystyle \frac{2}{3}x\sqrt{x}}$ の形に戻す．指数が有理数の場合を参照） 

${\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot \frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}$  

${\displaystyle =\frac{2}{9}x\sqrt{3x}+C}$ 　　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え 　${\displaystyle =\frac{2}{9}x\sqrt{3x}+C}$ を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{3}x}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日