不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2}{1-x^2}dx}}$

■答

${\displaystyle \log \left|1+x\right|-\log \left|1-x\right|+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

被積分関数を部分分数に分解する．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{2}{1-x^2}dx}}$${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{2}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}dx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)dx}}$

${\displaystyle =\log \left|1+x\right|-\log \left|1-x\right|+C}$

以下の2つの公式を使って積分の計算をした．

${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx=log\left|x\right|+C}$　(ここを参照)

${\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)+C}$　(ここを参照)

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \log \left|1+x\right|-\log \left|1-x\right|+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年7月9日