定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xcos2xdx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

部分積分法より

${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$　･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int xcos2xdx}$ を求める．

${\displaystyle \int xcos2xdx=\int x{\left(\frac{1}{2}sin2x\right)}^{\prime }dx}$ 　

と見て部分積分法を用いる．

与式${\displaystyle =\int x{\left(\frac{1}{2}sin2x\right)}^{\prime }dx}$ 　

${\displaystyle =x\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)-\int x^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)dx}$ 　

（部分積分法の公式を適用する）

${\displaystyle =x\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)-\int 1\cdot \left(\frac{1}{2}sin2x\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}xsin2x-\frac{1}{2}\int sin2xdx}$ 　

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$を積分記号${\displaystyle \int }$の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}xsin2x-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}cos2x\right)+C}$ 　

（${\displaystyle \int sin2xdx}$ の計算については，三角関数の積分を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}xsin2x+\frac{1}{4}cos2x+C}$ 　

（${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが ${\displaystyle xcos2x}$ の原始関数である）

よって，定積分計算方法(ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xcos2xdx}$${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}xsin2x+\frac{1}{4}cos2x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}xsin2x+\frac{1}{4}cos2x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$ 　

${\displaystyle =\left(\frac{\pi }{4}sin\pi +\frac{1}{4}cos\pi \right)}$${\displaystyle -\left(0+\frac{1}{4}cos0\right)}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}$ 　

${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$ 　

　

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学生スタッフ作成
初版：2009年3月7日，最終更新日： 2023年11月23日