定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^3{4}^{x}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{30}{log2}}$ 　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

基本となる関数の積分の指数／対数の積分より

${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{a^x}{loga}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int 4^{x}dx}$ 　を求めておく． 　

${\displaystyle \int 4^{x}dx}$${\displaystyle =\frac{4^x}{log4}+C}$ 　

（ヒントの式(2)を適用した）

${\displaystyle =\frac{4^x}{log{2}^2}+C}$ 　

${\displaystyle =\frac{4^x}{2log2}+C}$ 　

（ ${\displaystyle {log}_a{R}^t=t{log}_{a}R}$ を参照）
（これが${\displaystyle 4^x}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(2))より

${\displaystyle {\int }_1^3{4}^{x}dx={\left[\frac{4^x}{2log2}\right]}_1^3}$ 　

となる．

${\displaystyle ={\left[\frac{4^x}{2log2}\right]}_1^3}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2log2}\left(4^3-4^1\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2log2}\left(64-4\right)}$ 　

${\displaystyle =\frac{60}{2log2}}$ 　

${\displaystyle =\frac{30}{log2}}$ 　

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月23日