定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^{2}2xdx}$

■答

${\displaystyle 3}$

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ･･････(1)

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$ ･･････(2)

を用いる．

■解説

あらかじめ， ${\displaystyle \int 2xdx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int 2xdx}$ ${\displaystyle =2\cdot \frac{1}{2}{x}^2+C}$

（ ${\displaystyle x}$ を積分すると ${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle =x^2+C}$

（これが ${\displaystyle 2x}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_1^{2}2xdx={\left[x^2\right]}_1^2}$

となる．

${\displaystyle ={\left[x^2\right]}_1^2}$ ${\displaystyle =2^2-1^2}$ ${\displaystyle =4-1}$ ${\displaystyle =3}$

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

● $2x=t$ と置換した場合

あらかじめ， ${\displaystyle \int 2xdx}$ を求めておく．

${\displaystyle 2x=t}$ ･･････(3)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ ∴ ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ ･･････(4)

よって

与式 ${\displaystyle =\int t\cdot \frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int tdt}$

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}{t}^2+C\right)}$

（ ${\displaystyle t}$ を積分すると ${\displaystyle \frac{1}{2}{t}^2}$ になるのは，基本となる関数の積分の ${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle =\frac{1}{4}{t}^2+C}$

${\displaystyle 2x=t}$ と置換していることより

${\displaystyle x=1}$ のとき ${\displaystyle t=2}$ , ${\displaystyle x=2}$ のとき ${\displaystyle t=4}$

よって，置換積分の計算式(ヒントの式(2))より

${\displaystyle {\int }_1^{2}2xdx=\frac{1}{2}{\int }_2^{4}tdt={\left[\frac{1}{4}{t}^2\right]}_2^4}$

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(4^2-2^2\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(16-4\right)}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot 12}$ ${\displaystyle =3}$

この積分の値は，下の図の青色の領域の面積の値に相当する．

$2x=t$ の置換によって，赤色の領域が青色の領域に等積変換されている.

● $x^2=t$ と置換した場合

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2x\to 2xdx=dt}$

$x:1\to 2$ のとき， $t:1\to 4$

よって

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^{2}2xdx}={\displaystyle {\int }_1^{4}dt}={\left[t\right]}_1^4=4-1=3}$

この積分の値は，下の図の緑色の領域の面積の値に相当する．

$x^2=t$ の置換によって，赤色の領域が緑色の領域に等積変換されている.

　

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最終更新日： 2025年3月7日