定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx}$ 　　

■ヒント

定積分の基本式より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$　･･････(1)

置換積分法より

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(g\left(t\right)\right)g^{\prime }\left(t\right)dt}$　･･････(2)

を用いる．

■答

あらかじめ， ${\displaystyle \int x^{2}dx}$ を求めておく．

${\displaystyle \int x^{2}dx}$${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^3+C}$ 　

（ ${\displaystyle x^2}$ を積分すると ${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3}$ になるのは，基本となる関数の積分の${\displaystyle 1}$ 番めの式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）
（これが，${\displaystyle x^2}$の原始関数である．）

よって，定積分の計算式(ヒントの式(1))より

${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_1^4}$ 　　

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(4^3-1^3\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(64-1\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 63}$${\displaystyle =21}$ 　　

この定積分の値は，下の図の赤色の領域の面積の値に相当する．

また，この問題は，置換積分法を用いても解くことができる．

■置換積分を用いた場合の答

あらかじめ， ${\displaystyle \int x^{2}dx}$ 　を求めておく．

${\displaystyle x=\sqrt{t}}$　･･････(3)

とおいて置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}}$　　∴ ${\displaystyle dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}dt}$　･･････(4)

よって

${\displaystyle \int x^{2}dx}$${\displaystyle =\int {\left(\sqrt{t}\right)}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{t}}dt}$ 　

（�@，�Aを式に代入する）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt}$ 　　

（ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ を積分記号 ${\displaystyle \int }$ の前に移せるのは，不定積分の基本式を参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}}dt}$ 　　

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\cdot t^{\frac{3}{2}}+C\right)}$ 　　

（ ${\displaystyle t^{\frac{1}{2}}}$ を積分すると ${\displaystyle \frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}}$ になるのは，基本となる関数の積分の1番目の式を参照）
（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C}$ 　　

はじめに ${\displaystyle x=\sqrt{t}}$ 　と置換しているので

${\displaystyle x=1}$ 　のとき　${\displaystyle t=1}$ , ${\displaystyle x=4}$ 　のとき　${\displaystyle t=16}$

よって，ヒントの式(2)より

${\displaystyle {\int }_1^4{x}^{2}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^{16}{t}^{\frac{1}{2}}dt={\left[\frac{1}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^{16}}$ 　　

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left({16}^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{{\left(4^2\right)}^{\frac{3}{2}}-1\right\}}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(4^3-1\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{3}(64-1)}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 63}$${\displaystyle =21}$ 　　

この積分の値は，下の図の青色の領域の面積の値に相当する．

${\displaystyle x^2=t}$ の置換によって，赤色の領域が青色の領域に等積変換されている.

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最終更新日： 2023年11月23日