定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$ 　　

■答

${\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　　

■ヒント

(1)　定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ 　 　

(2) 基本となる関数の積分

${\displaystyle \int sinxdx=-cosx+C}$　　（$C$は積分定数）

(3)　以下の関係式

を用いる．

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}F\left(ax+b\right)}}$

■解説

ヒントの(1)，(2)，(3)より

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)dx}$${\displaystyle =-{\left[cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}$ 　　

${\displaystyle =-{\left[cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right]}_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}}$ 　　

${\displaystyle =-\{\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)}$ ${\displaystyle -\cos \left(-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\right)\}}$ 　　

${\displaystyle =-\left\{cos\left(\pi \right)-cos\left(\frac{\pi }{4}\right)\right\}}$ 　　

${\displaystyle =-\left(-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$ 　　

${\displaystyle =1+\frac{1}{\sqrt{2}}}$ 　　

　

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最終更新日： 2024年7月17日