定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(定積分)．

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

■ヒント

定積分の基本式

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

基本となる関数の積分

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}}$　　（$C$は積分定数）

を用いる．

■解答

あらかじめ， ${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$ 　を求めておく．

${\displaystyle \int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$

（この積分を参考にするとよい）

${\displaystyle =\int \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{x+1}{\sqrt{3}}+C}$

（これが ${\displaystyle \frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}}$ の原始関数である）

よって，定積分の計算(ヒントの式)より

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}-1}\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2+3}dx}$ 　 ${\displaystyle ={\left[\frac{1}{\sqrt{3}}{\tan }^{-1}\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right]}_0^{\sqrt{3}-1}}$

となる．

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left({tan}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-{tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left({tan}^{-1}1-{tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}$

（${\displaystyle {tan}^{-1}}$ については，アークタンジェントを参照 ）

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)}$

${\displaystyle =\frac{\pi }{12\sqrt{3}}}$

　

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最終更新日： 2023年11月23日