加法定理の証明

$3$\sin $ {\alpha}\pm {\beta} $$ $3$=\sin {\alpha}\cos {\beta}\pm \cos {\alpha}\sin {\beta}$

$3$\cos $ {\alpha}\pm {\beta} $$ $3$=\cos {\alpha}\cos {\beta}\mp \sin {\alpha}\sin {\beta}$

$3$\displaystyle{\tan $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\frac{\hspace{2} \tan {\alpha}\pm \tan {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} 1\mp \tan {\alpha}\tan {\beta} \hspace{2}}}$

（複号同順）

■証明

一般的な証明を紹介する．（ベクトルを用いた証明，オイラーの公式を用いた導出もある．）

単位円上に点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ がある． $3$x$ 軸の正方向と $3$\text{OP}$ のなす角を $3${\alpha}$ ， $3$x$ 軸のの正方向と $3$\text{OQ}$ のなす角を $3${\beta}$ とする．

三角形 $3$\text{OPQ}$ を考える．余弦定理より

$3$\displaystyle{{\text{PQ}}^{2}={\text{OP}}^{2}+{\text{OQ}}^{2}- 2\text{OP}\cdot \text{OQ}\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$

$3$\displaystyle{={1}^{2}+{1}^{2}- 2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$

$3$\displaystyle{=2- 2\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ 　･･････(1)

線分 $3$\text{PQ}$ の長さを点 $3$\text{P}$ ，点 $3$\text{Q}$ の座標成分を用いて表すと

$3$\displaystyle{{\text{PQ}}^{2}={ $ \cos {\beta}- \cos {\alpha} $ }^{2}+{ $ \sin {\beta}- \sin {\alpha} $ }^{2}}$

$3$\displaystyle{={\cos }^{2}{\beta}- 2\cos {\beta}\cos \alpha +{\cos }^{2}\alpha }$ $3$\displaystyle{+{\sin }^{2}{\beta}- 2\sin {\beta}\sin \alpha +{\sin }^{2}\alpha }$

$3$\displaystyle{= $ { \sin }^{2}\alpha +{ \cos }^{2}\alpha $ + $ { \sin }^{2}{\beta}+{ \cos }^{2}{\beta} $ }$ $3$\displaystyle{- 2\cos {\beta}\cos \alpha - 2\sin {\beta}\sin \alpha }$

$3$\displaystyle{=2- 2 $ \sin {\alpha}\sin {\beta}+\cos {\alpha}\cos {\beta} $ }$ 　･････(2)

(1)，(2)より

$3$\displaystyle{2- 2\cos $ \alpha - {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=2- 2 $ \cos \alpha \cos {\beta}+\sin \alpha \sin {\beta} $ }$

よって

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}- {\beta} $ }$ $3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta}}$ 　･･････(3)

(3)を用いて他の加法定理の公式も導くことができる．以下にそれを示す．

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ =\cos \{ {\alpha}- $ - {\beta} $ \} }$

$3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos $ - {\beta} $ +\sin {\alpha}\sin $ - {\beta} $ }$ （(3)より）

$3$\displaystyle{=\cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta}}$ 　･･････(4)

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ =\cos \{ 90- $ {\alpha}+{\beta} $ \} }$ （三角関数計算の基礎を参照）

$3$\displaystyle{=\cos \{ $ 90- {\alpha} $ - {\beta} \} }$

$3$\displaystyle{=\cos $ 90- {\alpha} $ \cos {\beta}+\sin $ 90- {\alpha} $ \sin {\beta}}$

$3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}- {\beta} $ =\sin \{ {\alpha}+ $ - {\beta} $ \} }$

$3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos $ - {\beta} $ +\cos {\alpha}\sin $ - {\beta} $ }$

$3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}- \cos {\alpha}\sin {\beta}}$ 　･･････(6)

$3$\displaystyle{\tan $ {\alpha}+{\beta} $ =\frac{\hspace{2} \sin $ {\alpha}+{\beta} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \cos $ {\alpha}+{\beta} $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta} \hspace{2}}}$

分子，分母を $3$\displaystyle{ \cos {\alpha}\cos {\beta} }$ で割ると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \tan {\alpha}+\tan {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \tan {\alpha}\tan {\beta} \hspace{2}}}$ 　･･････(7)

$3$\displaystyle{\tan $ {\alpha}- {\beta} $ =\frac{\hspace{2} \sin $ {\alpha}- {\beta} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \cos $ {\alpha}- {\beta} $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \sin {\alpha}\cos {\beta}- \cos {\alpha}\sin {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} \cos {\alpha}\cos {\beta}+\sin {\alpha}\sin {\beta} \hspace{2}}}$

分子，分母を $3$\displaystyle{ \cos {\alpha}\cos {\beta} }$ で割ると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \tan {\alpha}- \tan {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+\tan {\alpha}\tan {\beta} \hspace{2}}}$ 　･･････(8)

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最終更新日 2025年4月21日