ベクトルを用いた加法定理の証明

$3$\sin $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\sin {\alpha}\cos {\beta}\pm \cos {\alpha}\sin {\beta}$
$3$\cos $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\cos {\alpha}\cos {\beta}\mp \sin {\alpha}\sin {\beta}$
$3$\displaystyle{\tan $ {\alpha}\pm {\beta} $ =\frac{\hspace{2} \tan {\alpha}\pm \tan {\beta} \hspace{2}}{\hspace{2} 1\mp \tan {\alpha}\tan {\beta} \hspace{2}}}$

（複号同順）

■証明

$3$x$ 軸の正方向の基本ベクトルを $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$y$ 軸の正方向の基本ベクトルを $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ ，単位円上の点Pの位置ベクトルを $3$\displaystyle{{r}\limits^{\longrightarrow }}$ とする．

$3$\displaystyle{{r}\limits^{\longrightarrow }}$ を成分表示すると

$3$\displaystyle{{r}\limits^{\longrightarrow }= $ \hspace{1}{r}_{x},\hspace{1}{r}_{y} $ }$ ･･････(1)

と表されるとする．ただし，三角関数の定義より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{r}_{x}=\cos {\alpha}}$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{r}_{y}=\sin {\alpha}}$ ･･････(3)

となる．

$3$x$ 軸の正方向の基本ベクトルを $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$y$ 軸の正方向の基本ベクトルを $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ とすると， $3$\displaystyle{{r}\limits^{\longrightarrow }}$ の基本ベクトル表示は

$3$\displaystyle{{r}\limits^{\longrightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{r}_{x}{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\longrightarrow }+\hspace{1}{r}_{y}{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ $3$\displaystyle{= $ \cos {\alpha} $ { \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\longrightarrow }+ $ \sin {\alpha} $ { \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ ･･････(4)

ここで， $3$\displaystyle{{r}\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{1} }\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{e}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ を原点を中心に角度 $3${\beta}$ だけ半時計回りに回転させたものをそれぞれ， $3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{1} }\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ とすると，それぞれのベクトルの位置関係は変わらないので

$3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }= $ \cos {\alpha} $ { \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{1} }\limits^{\longrightarrow }+ $ \sin {\alpha} $ { \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ ･･････(5)

の関係が得られる．

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{1} }\limits^{\longrightarrow }}$ ， $3$\displaystyle{{ \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{2} }\limits^{\longrightarrow }}$ を成分表示で表すと

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{1} }\limits^{\longrightarrow }= $ \cos {\beta},\sin {\beta} $ }$ ･･････(6)

$3$\displaystyle{{ \hspace{1}{{e}^{\prime }}_{2} }\limits^{\longrightarrow }= $ \cos \( {\beta}+90^\circ $ ,\sin $ {\beta}+90^\circ $ \) }$ $3$\displaystyle{= $ - \sin {\beta},\cos {\beta} $ }$ (三角関数の計算の基礎を参照) ･･････(7)

となる．

(6)，(7)を(5)に代入すると

$3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }}$ $3$\displaystyle{=\cos {\alpha} $ \cos {\beta},\sin {\beta} $ +\sin {\alpha} $ - \sin {\beta},\cos {\beta} $ }$

$3$\displaystyle{= $ \cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta},\cos {\alpha}\sin {\beta}+\sin {\alpha}\cos {\beta} $ }$ ･･････(8)

となる．

一方， $3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }}$ と $3$x$ 軸のなす角は $3$\displaystyle{{\alpha}+{\beta}}$ であるので， $3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }}$ を成分表示で表すと

$3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }= $ \cos \( {\alpha}+{\beta} $ ,\sin $ {\alpha}+{\beta} $ \) }$ ･･････(9)

となる．

(8)と(9)は同じ $3$\displaystyle{{{r}^{\prime }}\limits^{\longrightarrow }}$ を成分表示したものであるので，そてぞれの成分はお互いに等しい．よって

$3$\displaystyle{\cos $ {\alpha}+{\beta} $ =\cos {\alpha}\cos {\beta}- \sin {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(10)

$3$\displaystyle{\sin $ {\alpha}+{\beta} $ =\cos {\alpha}\sin {\beta}+\sin {\alpha}\cos {\beta}}$ $3$\displaystyle{=\sin {\alpha}\cos {\beta}+\cos {\alpha}\sin {\beta}}$ ･･････(11)

となる．

以上より加法定理が導かれた．

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最終更新日 2023年3月2日