変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=xy }$

■答

$3$\displaystyle{ y=A{e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} } }$ 　　　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=xy }$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{ dy=xydx }$ 　･･････(1)

(i) $3$\displaystyle{y\neq 0}$ のとき

(1)を $3$\displaystyle{y}$ で割って

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy=xdx }$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy }=\displaystyle{ \int xdx }+C }$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{ \log \|y\| =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C }$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\log e=1}$ より，右辺を書き換えると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C $ \log e }$

さらに対数の性質より

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C $ \log e=\log {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C } }$

よって

$3$\displaystyle{ \log \|y\| =\log {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C } }$

したがって

$3$\displaystyle{ \|y\| ={e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C } }$

$3$\displaystyle{ y=\pm {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C } }$

指数法則より

$3$\displaystyle{ {e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}+C }={e}^{C}{e}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} } }$