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変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{ y=Ax }$ 　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{ dy=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }$ 　･･････(1)

(i) $3$\displaystyle{y\neq 0}$ のとき

(1)を $3$\displaystyle{y}$ で割って

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }+C }$

$3$\displaystyle{ \log \|y\| =\log \|x\| +C }$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{ \log \|y\| =\log \|x\| +C }$ ･･････(1)

対数の性質より(1)の左辺は

$3$\displaystyle{ \log \|y\| - \log \|x\| }$

$3$\displaystyle{ =\log \frac{\hspace{2} \|y\| \hspace{2}}{\hspace{2} \|x\| \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\log \| \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \| }$

$3$\displaystyle{\log e=1}$ より，(1)式の右辺は

$3$\displaystyle{C=C\log e}$

さらに対数の性質より

$3$\displaystyle{C\log e=\log {e}^{C}}$

よって

$3$\displaystyle{ \log \| \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \| =\log {e}^{C} }$

以上より

$3$\displaystyle{ \| \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \| ={e}^{C} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=\pm {e}^{C} }$

$3$\displaystyle{\pm {e}^{C}=A\neq 0}$ とおいて，整理すると

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=A }$

$3$\displaystyle{ y=Ax }$

したがって

$3$\displaystyle{ y=Ax }$ 　･･････(2)

(ii) $3$\displaystyle{y=0}$ のとき

(2)において， $3$\displaystyle{A=0}$ に相当する．

　

(i)，(ii)より

$3$\displaystyle{ y=Ax }$ 　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年6月29日