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変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=3y}$

■答

$3$\displaystyle{ y=A{e}^{ 3x } }$ 　　　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=3y}$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{dy=3ydx}$

・ $3$\displaystyle{ y\neq 0 }$ のとき

両辺を $3$\displaystyle{y}$ で割る

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy=3dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy }=\displaystyle{ \int 3dx }+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{ \log \|y\| =3x+C }$ (ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

ここで， $3$\displaystyle{\log \|y\| }$ の底は $3$\displaystyle{e}$ であるので，指数と対数の関係

$3$\hspace{1}{\log }_{a}P=r\text{\hspace{5}}\Leftrightarrow \text{\hspace{5}}{a}^{r}=P$

を用いると,

$3$\displaystyle{ \|y\| ={e}^{ 3x+C }}$

指数法則より

$3$\displaystyle{{e}^{ 3x+C }={e}^{C}{e}^{ 3x }}$

となるので

$3$\displaystyle{ \|y\| ={e}^{C}{e}^{ 3x }}$

$3$\displaystyle{y=\pm {e}^{C}{e}^{ 3x }}$

$3$\displaystyle{\pm {e}^{C}=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ 3x }}$ 　　　･････(1) 　　　

・ $3$\displaystyle{y=0}$ のとき

$3$\displaystyle{y=0}$

は微分方程式を満たし,（1）の $3$\displaystyle{A=0}$ に相当する．

以上より微分方程式の解は

$3$\displaystyle{ y=A{e}^{ 3x } }$ （ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

となる．

　

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最終更新日： 2022年5月11日