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変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=-2y}$

■答

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ - 2x }}$ （ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=-2y}$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{dy=-2ydx}$ 　･･････(1)

(i) $3$\displaystyle{ y\neq 0 }$ のとき

(1)の両辺を $3$\displaystyle{y}$ で割って

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy=-2dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy }=\displaystyle{ \int - 2dx }+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{\log \|y\| =- 2x+C}$ 　　(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\log e=1}$ なので，右辺を書き換えると

$3$\displaystyle{ - 2x+C= \( - 2x+C \) \log e }$

さらに対数の性質より

$3$\displaystyle{ \( - 2x+C \) \log e=\log {e}^{ - 2x+C } }$

よって

$3$\displaystyle{\log \|y\| =\log {e}^{ - 2x+C }}$

$3$\displaystyle{ \|y\| ={e}^{ - 2x+C }}$

指数法則より

$3$\displaystyle{{e}^{ - 2x+C }={e}^{C}{e}^{ - 2x }}$

となるので

$3$\displaystyle{ \|y\| ={e}^{C}{e}^{ - 2x }}$

$3$\displaystyle{y=\pm {e}^{C}{e}^{ - 2x }}$

$3$\displaystyle{\pm {e}^{C}=A\neq 0}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ - 2x }}$ 　･･････(2)

(ii) $3$\displaystyle{y=0}$ のとき

(2)の $3$\displaystyle{A=0}$ のときに相当する．

　

(i)， (ii)の結果より

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ - 2x }}$ （ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日