変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{y=A $ 1+x $ - 1}$ 　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}}$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{dy=\frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}dx}$ 　･･････(1)

(i) $3$\displaystyle{1+y\neq 0}$ のとき

(1)の両辺を $3$\displaystyle{1+y}$ で割って

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}dy }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}dx }+C}$

$3$\displaystyle{\log \| 1+y \| =\log \| 1+x \| +C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{\log \| 1+y \| - \log \| 1+x \| =C}$ ･･････(1)

対数の性質より(1)の左辺は

$3$\displaystyle{\log \| 1+y \| - \log \| 1+x \| }$

$3$\displaystyle{=\log \frac{\hspace{2} \| 1+y \| \hspace{2}}{\hspace{2} \| 1+x \| \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\log \| \frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}} \| }$

$3$\displaystyle{\log e=1}$ より，(1)式の右辺は

$3$\displaystyle{C=C\log e}$

さらに対数の性質より

$3$\displaystyle{C\log e=\log {e}^{C}}$

よって

$3$\displaystyle{\log \| \frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}} \| =\log {e}^{C}}$

以上より

$3$\displaystyle{ \| \frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}} \| ={e}^{C}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}=\pm {e}^{C}}$

$3$\displaystyle{\pm {e}^{C}=A\neq 0}$ とおいて，整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 1+y \hspace{2}}{\hspace{2} 1+x \hspace{2}}=A}$

$3$\displaystyle{1+y=A $ 1+x $ }$

したがって

$3$\displaystyle{y=A $ 1+x $ - 1}$ 　･･････(2)

(ii) $3$\displaystyle{1+y=0}$ のとき

(2)において， $3$\displaystyle{A=0}$ のときに相当する．

(i)，(ii)より

$3$\displaystyle{y=A $ 1+x $ - 1}$ 　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

■答

■ヒント

■解き方

(i) のとき

(ii) のとき

(i) $3$\displaystyle{1+y\neq 0}$ のとき

(ii) $3$\displaystyle{1+y=0}$ のとき