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変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2y+3}$

■答

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ 2x }-\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　　　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=2y+3}$

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{dy= \( 2y+3 \) dx}$ 　･･････(1)

(i) $3$\displaystyle{2y+3\neq 0}$ のとき

(1)を $3$\displaystyle{2y+3}$ で割って

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2y+3 \hspace{2}}dy=dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2y+3 \hspace{2}}dy =\int dx+C }$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| 2y+3 \| =x+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

両辺に2をかける

$3$\displaystyle{\log \| 2y+3 \| =2x+2C}$

$3$\displaystyle{\log e=1}$ なので，右辺を書き換えると

$3$\displaystyle{ 2x+2C= \( 2x+2C \) \log e }$

対数の性質より

$3$\displaystyle{ \( 2x+2C \) \log e=\log {e}^{ 2x+2C } }$

よって

$3$\displaystyle{\log \| 2y+3 \| =\log {e}^{ 2x+2C }}$

したがって

$3$\displaystyle{ \| 2y+3 \| ={e}^{ 2x+2C }}$

指数法則より

$3$\displaystyle{ \| 2y+3 \| ={e}^{ 2C }{e}^{ 2x }}$

$3$\displaystyle{2y+3=\pm {e}^{ 2C }{e}^{ 2x }}$

$3$\displaystyle{2y=\pm {e}^{ 2C }{e}^{ 2x }-3}$

$3$\displaystyle{y=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2C }{e}^{ 2x }-\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ 2C }=A\neq 0}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ 2x }-\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

　

(i)，(ii)より

$3$\displaystyle{y=A{e}^{ 2x }-\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　　　（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年1月25日