変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} x{y}^{3}+x{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3}y- xy \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {y}^{2} $ x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} $ x- 1 $ \hspace{2}}=A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする．

■解き方

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} x{y}^{3}+x{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3}y- xy \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x{y}^{2} $ y+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} xy $ {x}^{2}- 1 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}}$

（ $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {x}^{2}- 1= $ x- 1 $ $ x+1 $ }$ ）

・ $3$\displaystyle{y\neq 0}$ ， $3$\displaystyle{y\neq - 1}$ の場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y $ y+1 $ \hspace{2}}dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ x- 1 $ $ x+1 $ \hspace{2}}dx}$

両辺の分数を部分分数に分解すると

⇒詳しくはこちら

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}} $ dy }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ dx }$

ここで両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}} $ dy }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ dx }}$ $3$\displaystyle{ +C }$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}dy }- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} y+1 \hspace{2}}dy }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{ +C }$

$3$\displaystyle{ \log \|y\| - \log \| y+1 \| }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| x- 1 \| }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \| x+1 \| }$ $3$\displaystyle{ +C }$

両辺を2倍すると

$3$\displaystyle{ 2\log \|y\| - 2\log \| y+1 \| }$ $3$\displaystyle{ =\log \| x- 1 \| }$ $3$\displaystyle{ - \log \| x+1 \| }$ $3$\displaystyle{ +2C }$

対数の性質より，式は次のように変形できる．

$3$\displaystyle{ \log {y}^{2}- \log { $ y+1 $ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ =\log \| x- 1 \| }$ $3$\displaystyle{ - \log \| x+1 \| }$ $3$\displaystyle{ +2C }$

$3$\displaystyle{\log \{ \frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} \hspace{2}} \} =\log \frac{\hspace{2} \| x- 1 \| \hspace{2}}{\hspace{2} \| x+1 \| \hspace{2}}+2C}$

この式を整理して

$3$\displaystyle{\log \{ \frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} \hspace{2}} \} - \log \frac{\hspace{2} \| x- 1 \| \hspace{2}}{\hspace{2} \| x+1 \| \hspace{2}}=2C}$

再び対数の性質を利用して

$3$\displaystyle{ \log \{ \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \| x- 1 \| \hspace{2}}{\hspace{2} \| x+1 \| \hspace{2}} \hspace{2}} \} =2C }$

$3$\displaystyle{\log \{ \frac{\hspace{2} {y}^{2} \| x+1 \| \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} \| x- 1 \| \hspace{2}} \} =2C}$

この式の右辺は $3$\displaystyle{\log {e}^{ 2C }}$ と変形できるので

⇒詳しくはこちら

$3$\displaystyle{\log \{ \frac{\hspace{2} {y}^{2} \| x+1 \| \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} \| x- 1 \| \hspace{2}} \} =\log {e}^{ 2C }}$

したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {y}^{2} \| x+1 \| \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} \| x- 1 \| \hspace{2}}={e}^{ 2C }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {y}^{2} $ x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} $ x- 1 $ \hspace{2}}=\pm {e}^{ 2C }}$

$3$\displaystyle{\pm {e}^{ 2C }=A}$ ( $3$\displaystyle{A\neq 0}$ )とおくと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {y}^{2} $ x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} $ x- 1 $ \hspace{2}}=A}$

・ $3$\displaystyle{y=0}$ ， $3$\displaystyle{y=- 1}$ の場合

$3$\displaystyle{y=0}$ ， $3$\displaystyle{y=- 1}$ は微分方程式を満たす．このとき， $3$\displaystyle{A=0}$ となる．

以上より，微分方程式の解は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {y}^{2} $ x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ y+1 $ }^{2} $ x- 1 $ \hspace{2}}=A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

となる．

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最終更新日： 2023年6月18日