同次形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- Ax \hspace{2}}}$ 　( $3$\displaystyle{A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}={ $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{2}}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=v}$ とおく．すなわち

$3$\displaystyle{y=vx}$ 　･･････(2)

これを $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　　･･････(3)

(2)，(3)を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={v}^{2}}$

$3$\displaystyle{x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={v}^{2}- v}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {v}^{2}- v \hspace{2}}dv=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx}$

左辺を部分分数に展開すると

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} v- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}} $ dv=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} v- 1 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}} $ dv }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\log \| v- 1 \| - \log \|v\| =\log \|x\| +C}$

$3$\displaystyle{\log \| v- 1 \| - \log \|v\| - \log \|x\| =C}$

対数の性質を利用してこの式を整理すると

$3$\displaystyle{\log \| \frac{\hspace{2} v- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} vx \hspace{2}} \| =C}$

左辺は

$3$\displaystyle{ C=C\log e=\log {e}^{C} }$ 　　 $3$\displaystyle{ $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \log e=1 $ }$

に変形できるので

$3$\displaystyle{\log \left|{ \frac{\hspace{2} v- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} vx \hspace{2}} }\right|=\log {e}^{C}}$

$3$\displaystyle{\left|{ \frac{\hspace{2} v- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} vx \hspace{2}} }\right|={e}^{C}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} v- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} vx \hspace{2}}=\pm {e}^{C}}$

$3$\displaystyle{v}$ を元( $3$\displaystyle{v=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ )に戻すと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}x \hspace{2}}=\pm {e}^{C}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} y- x \hspace{2}}{\hspace{2} xy \hspace{2}}=\pm {e}^{C}}$

$3$\displaystyle{\pm {e}^{C}=A\neq 0}$ とおいて，整理すると

$3$\displaystyle{y- x=Axy}$

$3$\displaystyle{y- Axy=x}$

$3$\displaystyle{\left({ 1- Ax }\right)y=x}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- Ax \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

$3$\displaystyle{A=0}$ のとき，(4)は

$3$\displaystyle{y=x}$ 　･･････(5)

となる．(5)より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=1}$ 　･･････(6)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}=1}$ 　･･････(7)

(6)，(7)より(5)は与式の微分方程式を満たすので，その解となる．

よって，(4)は $3$\displaystyle{A=0}$ も含めて微分方程式の解となる．

以上より，微分方程式の解は

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- Ax \hspace{2}}}$ 　( $3$\displaystyle{A}$ は任意定数)

となる．

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最終更新日： 2023年6月19日