線形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ $ 1- {x}^{2} $ {y}^{\prime }={x}^{2}- xy- 1 }$

■答

・ $3$\displaystyle{- 1< x< 1}$ の場合

$3$\displaystyle{ y=- \sqrt{ 1- {x}^{2} }{ \sin }^{ - 1 }x+C\sqrt{ 1- {x}^{2} } }$

・ $3$\displaystyle{x< - 1}$ ， $3$\displaystyle{x> 1}$ の場合

$3$\displaystyle{y=- \sqrt{ {x}^{2}- 1 }\log \left|{ x+\sqrt{ {x}^{2}- 1 } }\right|}$ $3$\displaystyle{+C\sqrt{ {x}^{2}- 1 }}$

・ $3$\displaystyle{x=1}$ の場合

$3$\displaystyle{y=0}$

ただし， $3$\displaystyle{C}$ は任意定数

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

一般解

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

■解き方

$3$\displaystyle{ $ 1- {x}^{2} $ {y}^{\prime }={x}^{2}- xy- 1 }$ 　･･････(1)

(1)式を変形すると

$3$\displaystyle{ $ 1- {x}^{2} $ {y}^{\prime }+xy=- $ 1- {x}^{2} $ }$

・ $3$\displaystyle{x\neq 1}$ の場合

この式の両辺を $3$\displaystyle{ $ 1- {x}^{2} $ }$ で割ると

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}y=- 1}$ 　･･････(2)

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

の一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx } }\left{{ \displaystyle{ \int \left({ - {e}^{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx } } }\right)dx+C } }\right}}$

⇒ $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx } }$ の積分方法はこちら

$3$\displaystyle{y={e}^{ \log \sqrt{ \left|{ 1- {x}^{2} }\right| } }\left{{ \displaystyle{ \int \left({ - {e}^{ \log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \left|{ 1- {x}^{2} }\right| } \hspace{2}} } }\right)dx+C } }\right}}$

$3$\displaystyle{ y=\sqrt{ \left|{ 1- {x}^{2} }\right| }\left({ - \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \left|{ 1- {x}^{2} }\right| } \hspace{2}}dx+C }\right) }$

＊ $3$\displaystyle{- 1< x< 1}$ の場合

$3$\displaystyle{y=\sqrt{ 1- {x}^{2} }\left({ - \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}dx+C }\right)}$

⇒ $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}dx } }$ の積分法方はこちら

$3$\displaystyle{=- \sqrt{ 1- {x}^{2} }{\sin }^{ - 1 }x+C\sqrt{ 1- {x}^{2} }}$

＊ $3$\displaystyle{x< - 1}$ ， $3$\displaystyle{x> 1}$ の場合

$3$\displaystyle{y=\sqrt{ {x}^{2}- 1 }\left({ - \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- 1 } \hspace{2}}dx+C }\right)}$

⇒ $3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}- 1 } \hspace{2}}dx}$ の積分法方はこちら

$3$\displaystyle{=- \sqrt{ {x}^{2}- 1 }\log \left|{ x+\sqrt{ {x}^{2}- 1 } }\right|}$ $3$\displaystyle{+C\sqrt{ {x}^{2}- 1 }}$

・ $3$\displaystyle{x=1}$ の場合

$3$\displaystyle{y=0}$

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最終更新日： 2024年10月7日