微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ $ {D}^{2}- 5D+6 $ y=18x }$

■答

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ 3x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ 2x }+3x+\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

(ただし， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ は任意定数)

■ヒント

逆演算子を部分分数に分解して解く．この公式を参照．

■解き方

●特殊解

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}- 5D+6 \hspace{2}}18x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ D- 3 $ $ D- 2 $ \hspace{2}}18x}$

部分分数に分解する

$3$\displaystyle{= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- 3 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- 2 \hspace{2}} $ 18x}$

この公式を利用するする

$3$\displaystyle{ ={e}^{ 3x }\displaystyle{ \int {e}^{ - 3x }\cdot 18xdx } }$ $3$\displaystyle{ - {e}^{ 2x }\displaystyle{ \int {e}^{ - 2x }\cdot 18xdx } }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ 3x } \cdot 18 \{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ - 3x } $ x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ \} }$ $3$\displaystyle{ - {e}^{ 2x } \cdot 18 \{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{ - 2x } $ x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \} }$