微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[4]{ 3{x}^{2}- 2x+1 } }$

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\displaystyle{\frac{\hspace{2} 3x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt[4]{{ $ 3{x}^{2}- 2x+ 1 $ }^{3}} \hspace{2}}}}$

■ヒント

合成関数の微分より

$3$\displaystyle{ { \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[4]{ 3{x}^{2}- 2x+1 } }$

(計算しやすいよう，式を指数を用いた形に変形する． $3$ {a}^{ \frac{\hspace{2}m\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }=\sqrt[n]{ {a}^{m} }$ ⇒ここを参照)

$3$\displaystyle{ ={ $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }{ $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{ $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } $ 6x- 2 $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2 $ 3x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 4\sqrt[4]{ { $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{3} } \hspace{2}} }$ （ $3$\displaystyle{{a}^{ - r }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{r} \hspace{2}}}$ ⇒ここを参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt[4]{{ $ 3{x}^{2}- 2x+ 1 $ }^{3}} \hspace{2}} }$

●別解

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[4]{ 3{x}^{2}- 2x+1 } }$

を

$3$\displaystyle{y=\sqrt[4]{u}={u}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$ ， $3$\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{u=3{x}^{2}- 2x+1}}}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{u}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- 1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{\prime }=6x- 2 }$

合成関数の微分の公式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ を適用する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} } \cdot $ 6x- 2 $ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2 $ 3x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} 4\sqrt[4]{ { $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{3} } \hspace{2}} }$

( $3$\displaystyle{ u=3{x}^{2}- 2x+1 }$ と置き換えていたのを元に戻す)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt[4]{ { $ 3{x}^{2}- 2x+1 $ }^{3} } \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年2月20日