微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y={x}^{ 5x }}$

■解説動画

◇微分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=5{x}^{ 5x } $ \log x+1 $ }$

■ヒント

対数微分法と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y={x}^{ 5x }}$

指数関数の定義より

$3$\displaystyle{ x> 0 \text{\hspace{1} }}$

よって

$3$\displaystyle{ {x}^{ 5x }> 0 }$

両辺の自然対数を取とり，対数微分法を用いて $3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ を求めることにする．

$3$\displaystyle{\begin{array} \log y & =\log {x}^{ 5x } & \vspace{6}\\ & =5x\log x & \vspace{6}\\ \end{array}}$

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \left({ 5x }\right) }^{\prime }\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}\log x+5x\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}{ \left({ \log x }\right) }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5\text{\log }x+5x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5\left({ \text{\log }x+5 }\right) }$

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5 $ \log x+1 $ \cdot y }$

$3$\displaystyle{ y={x}^{ 5x } }$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5\left({ \log x+1 }\right)\cdot {x}^{ 5x }}$ $3$\displaystyle{=5{x}^{ 5x }\left({ \log x+1 }\right)}$

●別解

指数関数 $3$\displaystyle{y={x}^{ 5x }}$ の底を自然対数の底 $3$\displaystyle{e}$ に変換する．

$3$\displaystyle{y={x}^{ 5x }={e}^{ \log {x}^{ 5x } }={e}^{ 5x\log x }}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={e}^{ 5x\log x }\cdot {\left({ 5x\log x }\right)}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{={e}^{ 5x\log x }\cdot \left{{ { \left({ 5x }\right) }^{\prime }\log x+5x\cdot { \left({ \log x }\right) }^{\prime } }\right}}$

$3$\displaystyle{={e}^{ 5x\log x }\cdot \left({ 5\log x+5x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{={e}^{ 5x\log x }\cdot 5\left({ \log x+1 }\right)}$

$3$\displaystyle{{e}^{ 5x\log x }={x}^{ 5x }}$ より

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={x}^{ 5x }\cdot 5\left({ \log x+1 }\right)}$ $3$\displaystyle{=5{x}^{ 5x }\left({ \log x+1 }\right)}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年6月4日